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布尔巴基学派的序、代数、拓扑三大母结构是现代数学的基础.利用计算机证明辅助工具,可以完整构建这三大母结构的形式化系统.本书利用交互式定理证明工具Coq,实现Morse-Kelley公理化集合论形式化系统,包括对该体系中8个公理(含选择公理)和1个公理图示以及全部181条定义或定理的Coq描述,其中构造了序数和基数,定义了非负整数,把Peano公设当作定理,可以迅速而自然地给出一个数学基础,摆脱了明显的悖论.这是Morse-Kelley公理化集合论系统的首次形式化实现.在Morse-Kelley公理化集合论形式化系统下,作为应用,我们给出选择公理与它的几个著名等价命题间等价性的机器证明,这些命题包括Tukey引理、Hausdorff极大原则、极大原则、Zorn引理、良序定理及Zermelo假定等.在我们开发的系统中,全部定理无例外地给出Coq的机器证明代码,所有形式化过程已被Coq验证,并在计算机上运行通过,体现了基于Coq的数学定理机器证明具有可读性和交互性的特点,其证明过程规范、严谨、可靠.该系统可方便地应用于拓扑学和代数学理论的形式化构建.

目录

第1章 引言 1

第2章 基本Coq指令清单和预备知识 4

第3章 Morse-Kelley公理化集合论的形式化系统实现 8

3.1 分类公理图式 8

3.2 分类公理图式(续) 9

3.3 类的初等代数 11

3.4 集的存在性 23

3.5 序偶：关系 31

3.6 函数41

3.7 良序50

3.8 序数72

3.9 非负整数 95

3.10 选择公理105

3.11 基数 114

第4章 选择公理及其等价命题的机器证明 210

4.1 基本定义210

4.2 Tukey 引理217

4.3 Hausdor极大原则 228

4.4 极大原则232

4.5 Zermelo 假定234

4.6 Zorn 引理 242

4.7 良序定理248

4.8 良序定理证明选择公理 264

4.9 Zermelo假定证明选择公理 266

4.10 Tukey引理证明选择公理 270

第5章 结论与注记 280

参考文献 284

索引 290

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书籍介绍

布尔巴基学派的序、代数、拓扑三大母结构是现代数学的基础.利用计算机证明辅助工具,可以完整构建这三大母结构的形式化系统.本书利用交互式定理证明工具Coq,实现Morse-Kelley公理化集合论形式化系统,包括对该体系中8个公理(含选择公理)和1个公理图示以及全部181条定义或定理的Coq描述,其中构造了序数和基数,定义了非负整数,把Peano公设当作定理,可以迅速而自然地给出一个数学基础,摆脱了明显的悖论.这是Morse-Kelley公理化集合论系统的首次形式化实现.在Morse-Kelley公理化集合论形式化系统下,作为应用,我们给出选择公理与它的几个著名等价命题间等价性的机器证明,这些命题包括Tukey引理、Hausdorff极大原则、极大原则、Zorn引理、良序定理及Zermelo假定等.在我们开发的系统中,全部定理无例外地给出Coq的机器证明代码,所有形式化过程已被Coq验证,并在计算机上运行通过,体现了基于Coq的数学定理机器证明具有可读性和交互性的特点,其证明过程规范、严谨、可靠.该系统可方便地应用于拓扑学和代数学理论的形式化构建.