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本书为微积分入门科普读物，书中以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。

第?1章?积分是什么?1?

积分的存在意义?2?

积分应用的基础?2?

所有图形都与长方形相通?5?

近似的方法?8?

和变为了积分?13?

何为“接近值”?18?

两个思想实验?20?

椭圆的面积?20?

地球的体积?25?

切口的秘密?32?

卡瓦列利原理?32?

三分之一的原理?37?

圆锥的体积?45?

球的体积?48?

球的表面积?54?

感觉和逻辑?59?

初中入学考试中的积分?59?

像小学生那样求圆环体体积?67?

把甜甜圈变成蛇的方法?69?

帕普斯-古尔丁定理?73?

第?2章?微分是什么?77?

微分存在的意义?78?

分析钻石的价格?78?

“亮出指数”的理由?86?

乘积的微分公式?94?

从未知到已知?97?

商的微分公式?100?

再次扩展幂函数的微分公式?102?

丰富多彩的函数世界?105?

山峰和山谷?105?

了解切线?109?

根据单调性表画函数图像?113?

值和最小值、极大值和极小值?117?

手绘函数图像的意义?119?

存在休息平台的函数?121?

有预谋地使用微分?128?

理想的冰激凌蛋卷筒?128?

“忽略”与“不可忽略”的界线?138?

第3章?探寻微积分的可能性?141?

1800年后的真相?142?

反军队式学习法?142?

伟大的发现会成为未来的常识?144?

基本定理的使用方法?152?

填坑?160?

自然常数从何而来?160?

无限接近于的值?164?

关键在于根号?166?

转换思路能行得通吗?169?

指数函数出现了?175?

让关系更清晰?178?

一个微分后不会发生变化的函数?181?

弯曲也没问题?184?

测量曲线的长度?184?

简洁的悬链线公式?187?

验证项链的长度?194?

微积分的真身?199?

微分的可能性?199?

微分相关的冒险?202?

近似和忽略?205?

后记?207?

尾注?209

神永正博（Kunihiko?Kodaira）?

1967年出生于东京，理学博士，日本东北学院大学教授。曾在京都大学研究生院理学研究所（数学方向）进行博士后期课程学习。主要研究方向为解析学（作为量子力学基础方程式的薛定谔方程）以及密码理论。主要著作有《看穿谎言的统计学》《数学思考法》，另外审阅翻译的著作有《漫画统计学入门》等。

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制作散寿司非常麻烦。要先做醋拌饭，然后烹煮配菜。为组合各种食材，从制作的前一天就要开始采购，并悉心处理、加工，这是一项非常需要耐心的工作。

但是，因为制作者知道为达成目标需要做哪些事情，即便步骤繁杂，也能胸有成竹、有条不紊。这个过程中，最重要的是制作者观念中成型散寿司的形象。如果不告知目的是制作散寿司，就强迫人去费劲处理康吉鳗、窝斑鰶——无论忍耐力多强的人都会感到厌烦吧。

学校里教授微积分的方法和后者相近。优先并毫无遗漏地传授之后才会使用的知识。当万事俱备后，就以"之前学过这个知识了，接下来我们就使用这个方法"的方式往下学习。直到最后也不告诉学生这些方法的意义，而是生硬的把学生推到目的地。

军队式讲解方法的优点在于，必要时可以把已经学过的知识当作前提来讲解新的内容。这种方法很适合编写教科书，既可以节约纸张页数，又能缩短解释时间，对于要求在短时间内教授更多知识的学校教学体系，这种方法可以说是一种合适的选择。

但是，如果站在学习者的立场来看，情况就会发生变化，这种教学方法会让学习者在不知道终点的情况下，一直往前奔跑。虽说这是学习者的任务，但是没有目的的学习，还是稍微有些辛苦的。

因此本书尽可能用解决问题型的方法来讲解。如前文所述，微积分中存在某种目的，因此肯定存在解决的具体问题。

如书名所示，本书是一本微积分入门书。虽然是入门书，不过写到后面，却发现内容已经相当有深度。

这样的话，或许你会想：“是不是先得准备纸和铅笔？”

不用，我们不需要纸和铅笔。本书是一本只需要“读”的微积分入门书。请轻松地来阅读吧。

说起微积分，大家有什么印象？想必很多人会联想到棘手的计算吧。甚至还会有人想到这种情景——在学校的考试中，只是因为计算稍稍出错，就被大幅扣分，凄惨至极。

哎呀，这位姑娘似乎认为解决微积分问题，只要套用背诵的公式就足够了。这就是那种在学校的考试中掌握了应试要领的典型人物。

不过，对于如何看待微积分，还存在像上面这位博士一样的一类人，他们的看法在某种意义上略显偏激。这种人在学校里可能难以被认可，不过在社会中似乎能生存下去。

本书讲解微积分选择的是这位博士的立场。因为我认为，虽然会计算微积分更好，但最开始学习微积分时，重点并不在计算上。

数学家是擅长数学的人，所以他们也很擅长计算吧？不，不一定是这样的。令人意外的是，数学家不仅会有不少单纯的计算失误，而且也常常会在思路上出现错误。

创立了组合拓扑学的天才数学家亨利•庞加莱也是经常犯错误的，据说就连他的论文中也存在不少错误。

但是，庞加莱思考的方向在本质上是准确无误的。只要思考的方向正确，即使稍微出点儿差错，对整体而言也并不是致命的。在学校，考试之所以依据计算结果的正确与否来确定成绩，是因为根据思路来给分数比较困难。

我喜欢南方的国家，2010 年曾在印度生活了一年。在金奈（Chennai，旧称 Madras）的一所数理科学研究所做研究时，深深吸引我的不仅是印度这个国家，还有印度人的研究方法。

其中令人惊讶的是，印度的研究者不怎么计算。当然，并不是完全不计算，而是与计算相比，他们在思考上花费的时间更长。我甚至怀疑他们这样是不是为了节约纸。“只要有纸和铅笔就能够做研究”是数学家的口头禅，但是印度人可能会笑道：“难...

地球每天自转一周，而且自转的速度相当快，赤道附近的速度可达1700kmh，是音速的138倍大家可以想象一下地球这种快速旋转的姿态，在这种情况下，由于离心力的作用，地球被横向拉伸也是理所当然的。

将思考应用于实际，用自己的力量去推导面积、体积，这才是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。

在此基础之上，我们选取一条度△x的短条。△是希腊字母，读作“德尔塔”（ Delta），多用作“差”（ difference）的符号，表示非常小的数值。

左端公式中那个像把字母S纵向拉长的符号音同 integral（积分）积分原本就是“和”的意思，因此积分符号也是取自拉丁语中和”的单词 Summa的首字母S。

书籍介绍

本书是微积分入门科普读物，以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。